Приняты следующие обозначения для элементарных функций и констант.
$\backslash$i — мнимая единица,
$\backslash$e — основание натурального логарифма,
$\backslash$pi — число $\pi$, т. е. отношение длины окружности к диаметру,
$\backslash$infty — знак бесконечности.
$\backslash$ln — натуральный логарифм,
$\backslash$lg — десятичный логарифм,
$\backslash$sin — синус,
$\backslash$cos — косинус,
$\backslash$tg — тангенс,
$\backslash$ctg — котангенс,
$\backslash$arcsin — арксинус,
$\backslash$arccos — арккосинус,
$\backslash$arctg — арктангенс,
$\backslash$arcctg — арккотангенс,
$\backslash$sh — синус гиперболический,
$\backslash$ch — косинус гиперболический,
$\backslash$th — тангенс гиперболический,
$\backslash$cth — котангенс гиперболический,
$\backslash$arcsh — арксинус гиперболический,
$\backslash$arcch — арккосинус гиперболический,
$\backslash$arcth — арктангенс гиперболический,
$\backslash$arccth — арккотангенс гиперболический,
$\backslash$exp — экспонента,
$\backslash$sqrt — корень квадратный,
$\backslash$abs — абсолютное значение для действительных чисел, модуль для комплексного числа;
$\backslash$sign — знак числа. Возвращает 1, 0, -1, когда число положительное, ноль или отрицательное соответственно;
$\backslash$unitStep$(x,a)$ — это функция, которая при $x \geqslant 0$ принимает значение $1$, а при $x<0$ принимает значение $0$;
$\backslash$fact — факториал. Определен для целых положительных чисел. Можно писать в привычном виде, например, <<5!>>.
$\widehat{ }{}$ — степень;
$\backslash$log — логарифм от функции по указанному основанию;
$\backslash$rootOf(x, n) — корень степени n из x;
$\backslash$Gamma — функция Гамма;
$\backslash$Gamma2 — функция Гамма 2;
$\backslash$binomial — число сочетаний.
Для вычисления значения функции в точке необходимо выполнить команду value(f, [var1, var2,…, varn]), где $f$ — функция, а $var1, var2,…, varn$ — значения соответствующих переменных.
Для тригонометрических функций мерой угла считается радиан или градус. Указание меры угла определяется константой RADIAN. Если не указывать угловую меру, то угловой мерой выбирается радиан. Чтобы поменять угловую меру с радиан на градусы, нужно выполнить команду <<RADIAN=0;>>. Если же нужно поменять угловую меру с градусов на радианы, то нужно выполнить команду <<RADIAN=1;>>.
Если аргументами являются целые числа $15k$ и $18k$ градусов или $\pi k/12$ и $\pi k/10$ радиан $(k\in \mathbb Z)$, то значениями тригонометрических функций являются алгебраические числа.
Для вычисления композиции функций нужно <<подставлять>> в функцию вместо ее аргументов другие функции. Для этого необходимо выполнить команду value(f, [func1, func2,…, funcn]), где $f$ — данная функция, $func1, func2,…, funcn$ — функции, которые подставляются вместо соответствующих переменных.
Для вычисления предела функции в точке необходимо выполнить команду lim(f, var), где $f$ — это функция, а $var$ — точка, возможно бесконечная, в которой требуется найти предел, конечный или бесконечный.
Для вычисления производной функции f по переменной y из кольца $\mathbb{Z}[x, y, z]$ необходимо выполнить команду D(f, y). Вычисление третьей производной по $y$ можно выполнить $\backslash {\mathbf {D}} (f, [y\widehat{ }{}3]) $. Если необходимо найти производную функции $f$ один раз по первой переменной из текущего кольца (в данном случае $x$) можно записать D(f) или D(f,x) .
Для нахождения смешанной производной первого порядка от функции $f$ существует команда D(f, [x, y]), для нахождения производной высших порядков нужно использовать команду $\backslash {\mathbf {D}} (f, [x \widehat{ }{} k, z \widehat{ }{} m, y \widehat{ }{} n])$, где $k, m, n$ указывают, какого порядка по соответствующей переменной вычисляется производная.
Символьное интегрирование композиций элементарных функций выполняется командой int(f(x))d x.
Для разложения любой тригонометрической или логарифмической функции с помощью тождеств: $sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y) = sin(x \pm y),$ $cos(x)cos(y) \pm sin(x)sin(y) = cos(x \mp y),$ $sin^2(x) + cos^2(x) = 1,$ $cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x),$ $ln(a) + ln(b) = ln(ab),$ $ln(a) - ln(b) = ln(\dfrac{a}{b}),$ используется команда Expand(f(x))
Для разложения на множители выражений при помощи описанных выше тригонометрических и логарифмических тождеств, а также следующих тождеств: $ln(a)^k = k\cdot ln(a),$ $e^{iz} + e^{-iz} = 2\cos(z),$ $e^{iz} - e^{-iz} = 2i\sin(z),$ $\ln(1+iz) - \ln(1-iz) = 2i\cdot arctg(z),$ $\ln(1-iz) - \ln(1+iz) = 2i\cdot arcctg(z),$ $e^{z} + e^{-z} = 2ch(z)$ $e^{z} - e^{-z} = 2i\cdot sh(z),$ используется команда Factor(f(x)).
Комбинируя команды Factor(f(x)) и Expand(f(x)), можно упрощать более сложные выражения.
Given two non-negative numbers $x$ and $y$, one can define their arithmetic, geometric and harmonic means as $\frac{x+y}{2}$, $\sqrt{xy}$, and $\frac{2xy}{x+y}$, respectively. Moreover, AGM(x,y) denotes the arithmetic-geometric mean of $x$ and $y$. GHM(x,y) denotes the geometric-harmonic mean of $x$ and $y$. At last, MAGM(x,y) denotes the modified arithmetic-geometric mean of $x$ and $y$. Every mean is a symmetric homogeneous function in their two variables $x$ and $y$. In contrast to well-known means, AGM(x,y), GHM(x,y), and MAGM(x,y) are calculated iteratively.
The arithmetic-geometric mean AGM(x,y) is equal to the limit of both sequences $x_n$ and $y_n$, where $x_0=x$, $y_0=y$, $x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+y_n)$, and $y_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}$.
In the same way, the geometric-harmonic mean GHM(x,y) is equal to the limit of both sequences $x_n$ and $y_n$, where $x_0=x$, $y_0=y$, $x_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}$, and $y_{n+1}=\frac{2x_ny_n}{x_n+y_n}$.
The modified arithmetic-geometric mean MAGM(x,y) is equal to the limit of the sequence $x_n$, where $x_0=x$, $y_0=y$, $z_0=0$, $x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}$, $y_{n+1}=z_n+\sqrt{(x_n-z_n)(y_n-z_n)}$, and $z_{n+1}=z_n-\sqrt{(x_n-z_n)(y_n-z_n)}$.
Let us use the parameter $0\le k\le 1$.
The complete elliptic integral of the first kind $K(k)$ is defined as $$K(k)=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}$$ It can be computed in terms of the arithmetic-geometric mean: $$K(k)=\frac{\pi}{2 AGM(1,\sqrt{1-k^2})}$$ On the other hand, for $k<1$, it can be computed in terms of the geometric-harmonic mean: $$K(k)=\frac{\pi}{2} GHM(1,\frac{1}{\sqrt{1-k^2}})$$
The complete elliptic integral of the second kind $E(k)$ is defined as $$E(k)=\int_0^1\sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}dt$$ It can be computed in terms of the modified arithmetic-geometric mean: $$E(k)=K(k) MAGM(1,1-k^2)$$ See also: S. Adlaj (2012) An eloquent formula for the perimeter of an ellipse. Notices of the American Mathematical Society. 59(8), 1094-1099. DOI:10.1090/noti879
A point mass suspended from a pivot with a massless cord. The length of the pendulum equals $L = 1$ metre. It swings under gravitational acceleration $g = 9.80665$ metres per second squared. The maximum angle that the pendulum swings away from vertical, called the amplitude, equals $\theta_0=2.0944$, that is, $\frac{2}{3}\pi$ radians.
Find the period $T$ of the pendulum using the arithmetic-geometric mean $$T=\frac{2\pi}{AGM(1,\cos(\theta_0/2))}\sqrt{\frac{L}{g}}$$