Назад до змісту 

Функції однієї та кількох змінних

6.1 Математичні функції

Прийнято такі позначення для елементарних функцій та констант.

Константи

i — уявна одиниця,

e — основа натурального логарифму,

pi — число π, т.е. е. відношення довжини кола до діаметру,

infty — знак нескінченності.

Функції одного аргументу

ln — натуральний логарифм,

lg — десятковий логарифм,

sin — синус,

cos — косинус,

tg — тангенс,

ctg — котангенс,

arcsin — арксинус,

arccos — арккосинус,

arctg — арктангенс,

arcctg — арккотангенс,

sh — синус гіперболічний,

ch — косинус гіперболічний,

th — тангенс гіперболічний,

cth — котангенс гіперболічний,

arcsh — арксинус гіперболічний,

arcch — арккосинус гіперболічний,

arcth — арктангенс гіперболічний,

arccth — арккотангенс гіперболічний,

exp — експонента,

sqrt — корінь квадратний,

abs — абсолютне значення для дійсних чисел, модуль для комплексного числа;

sign — знак числа.

unitStep(x,a) — це функція, яка при x0 приймає значення 1, а при x<0 набуває значення 0;

fact — факторіал. Визначено для цілих позитивних чисел. Можна писати у звичному вигляді, наприклад, <<5!>>.

Функції двох аргументів

^ — ступінь;

log — логарифм від функції за вказаною основою;

rootOf(x, n) — корінь ступеня n з x;

Gamma — функція Гамма;

Gamma2 — функція Гамма 2;

binomial — кількість поєднань.

Доки немає результату

6.2 Обчислення значень функції у точці

Для обчислення значення функції у точці необхідно виконати команду value(f, [var1, var2,…, varn]), де f — функція, а var1,var2,,varn — значення відповідних змінних.

Для тригонометричних функцій мірою кута вважається радіан чи градус. Вказівка міри кута визначається константою RADIAN. Якщо не вказувати кутову міру, то кутовим заходом вибирається радіан. Щоб змінити кутову міру з радіан на градуси, Необхідно виконати команду <<RADIAN=0;>>. Якщо ж потрібно змінити кутову міру з градусів на радіани, то необхідно виконати команду <<RADIAN=1;>>.

Якщо аргументами є цілі числа 15k і 18k градусів або πk/12 і πk/10 радіан (kZ), то значеннями тригонометричних функцій є числа алгебри.

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

6.3 Підстановка виразів у функції

Для обчислення композиції функцій потрібно «підставляти» у функцію замість її аргументів інші функції. Для цього необхідно виконати команду value(f, [func1, func2,…, funcn]), де f — дана функція, func1,func2,,funcn — функції, які підставляються замість відповідних змінних.

Доки немає результату

6.4 Обчислення межі функції у точці

Для обчислення межі функції у точці необхідно виконати команду lim(f, var), де f — це функція, а var — точка, можливо нескінченна, в якій потрібно знайти межу, кінцеву або нескінченну.

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

6.5 Диференціювання функцій

Для обчислення похідної функції f змінної y з кільця Z[x,y,z] потрібно виконати команду D(f, y). Обчислення третьої похідної y можна виконати D(f,[y^3]). Якщо потрібно знайти похідну функції f один раз за першою змінною з поточного кільця (у даному випадку x) можна записати D(f) або D(f,x) .

Для знаходження змішаної похідної першого порядку від функції f існує команда D(f, [x, y]), для знаходження похідної вищих порядків потрібно використовувати команду D(f,[x^k,z^m,y^n]), де k,m,n вказують, якого порядку відповідною змінною обчислюється похідна.

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

6.6 Інтегрування композицій елементарних функцій

Символьне інтегрування композицій елементарних функцій виконується командою int(f(x))dx.

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

6.7 Спрощення композиції функцій

Для розкладання будь-якої тригонометричної або логарифмічної функції за допомогою тотожності: sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)=sin(x±y), cos(x)cos(y)±sin(x)sin(y)=cos(xy), sin2(x)+cos2(x)=1, cos2(x)sin2(x)=cos(2x), ln(a)+ln(b)=ln(ab), ln(a)ln(b)=ln(ab), використовується команда Expand(f(x))

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

Для розкладання на множники виразів за допомогою описаних вище тригонометричних та логарифмічних тотожностей, а також наступних тотожностей: ln(a)k=kln(a), eiz+eiz=2cos(z), eizeiz=2isin(z), ln(1+iz)ln(1iz)=2iarctg(z), ln(1iz)ln(1+iz)=2iarcctg(z), ez+ez=2ch(z) ezez=2ish(z), використовується команда Factor(f(x)).

Доки немає результату

Доки немає результату

Доки немає результату

Комбінуючи команди Factor(f(x)) і Expand(f(x)), можна спрощувати складніші висловлювання.

Доки немає результату

6.8 Arithmetic-geometric mean

Given два неnegative numbers x і y, один може визначити свої аритмічні, geometric і harmonic means як x+y2, xy, and 2xyx+y, respectively. Moreover, AGM(x,y) denotes the арифметично-geometric mean of x and y. GHM(x,y) помітить geometric-harmonic mean of x and y. При останній, MAGM(x,y) помітно змінити арифметично-геометричну величину x і y. Нижче є симметрична homogeneous функція в своїх двох параметрах x і y. In contrast до well-known means, AGM(x,y), GHM(x,y), і MAGM(x,y) are calculated iteratively .

Арифметико-геометричний метод AGM(x,y) є еквівалентом до межі послідовності xn і yn, де x0=x, y0=y, xn+1=12(xn+yn), and yn+1=xnyn.

У той же спосіб, geometric-harmonic mean GHM(x,y) є еквівалентом до межі послідовності xn і yn, де x0=x, y0=y , xn+1=xnyn, and yn+1=2xnynxn+yn.

Помітний арифметично-геометричний метод MAGM(x,y) є еквівалентом до граничного терміну xn, де x0=x, y0=y, z0=0, xn+1=xn+yn2, yn+1=zn+(xnzn)(ynzn), and zn+1=zn(xnzn)(ynzn).

Доки немає результату

6.9 The complete elliptic integrations of the first and second kind

Let us use the parameter 0k1.

Складний еліптичний загальний перший перший K(k) is defined as K(k)=10dt(1t2)(1k2t2)

Це може бути введено в терміни аритметично-геометричного способу: K(k)=π2AGM(1,1k2)
На іншій стороні, для k<1, вона може бути введена в терміни geometric-harmonic mean: K(k)=π2GHM(1,11k2)

Складний еліптичний загальний секційний другий E(k) is defined as E(k)=101k2t21t2dt

Це може бути введено в терміни з modified arithmetic-geometric mean: E(k)=K(k)MAGM(1,1k2)
See also: S. Adlaj (2012) An eloquent formula for perimeter of an ellipse. Notices of the American Mathematical Society. 59 (8), 1094-1099. DOI:10.1090/noti879

6.10 The period of a simple gravity pendulum

A point mass suspended from pivot with massless cord. Length of pendulum equals L=1 metre. It swings under gravitational acceleration g=9.80665 metres per second squared. Максимальний янг, що pendulum swings away від vertical, називається amplitude, equals θ0=2.0944, що є, 23π radians.

Find the period T of the pendulum використовуючи аритметично-geometric mean T=2πAGM(1,cos(θ0/2))Lg

Доки немає результату

Назад до змісту