Прийнято такі позначення для елементарних функцій та констант.
∖i — уявна одиниця,
∖e — основа натурального логарифму,
∖pi — число π, т.е. е. відношення довжини кола до діаметру,
∖infty — знак нескінченності.
∖ln — натуральний логарифм,
∖lg — десятковий логарифм,
∖sin — синус,
∖cos — косинус,
∖tg — тангенс,
∖ctg — котангенс,
∖arcsin — арксинус,
∖arccos — арккосинус,
∖arctg — арктангенс,
∖arcctg — арккотангенс,
∖sh — синус гіперболічний,
∖ch — косинус гіперболічний,
∖th — тангенс гіперболічний,
∖cth — котангенс гіперболічний,
∖arcsh — арксинус гіперболічний,
∖arcch — арккосинус гіперболічний,
∖arcth — арктангенс гіперболічний,
∖arccth — арккотангенс гіперболічний,
∖exp — експонента,
∖sqrt — корінь квадратний,
∖abs — абсолютне значення для дійсних чисел, модуль для комплексного числа;
∖sign — знак числа.
∖unitStep(x,a) — це функція, яка при x⩾0 приймає значення 1, а при x<0 набуває значення 0;
∖fact — факторіал. Визначено для цілих позитивних чисел. Можна писати у звичному вигляді, наприклад, <<5!>>.
^ — ступінь;
∖log — логарифм від функції за вказаною основою;
∖rootOf(x, n) — корінь ступеня n з x;
∖Gamma — функція Гамма;
∖Gamma2 — функція Гамма 2;
∖binomial — кількість поєднань.
Для обчислення значення функції у точці необхідно виконати команду value(f, [var1, var2,…, varn]), де f — функція, а var1,var2,…,varn — значення відповідних змінних.
Для тригонометричних функцій мірою кута вважається радіан чи градус. Вказівка міри кута визначається константою RADIAN. Якщо не вказувати кутову міру, то кутовим заходом вибирається радіан. Щоб змінити кутову міру з радіан на градуси, Необхідно виконати команду <<RADIAN=0;>>. Якщо ж потрібно змінити кутову міру з градусів на радіани, то необхідно виконати команду <<RADIAN=1;>>.
Якщо аргументами є цілі числа 15k і 18k градусів або πk/12 і πk/10 радіан (k∈Z), то значеннями тригонометричних функцій є числа алгебри.
Для обчислення композиції функцій потрібно «підставляти» у функцію замість її аргументів інші функції. Для цього необхідно виконати команду value(f, [func1, func2,…, funcn]), де f — дана функція, func1,func2,…,funcn — функції, які підставляються замість відповідних змінних.
Для обчислення межі функції у точці необхідно виконати команду lim(f, var), де f — це функція, а var — точка, можливо нескінченна, в якій потрібно знайти межу, кінцеву або нескінченну.
Для обчислення похідної функції f змінної y з кільця Z[x,y,z] потрібно виконати команду D(f, y). Обчислення третьої похідної y можна виконати ∖D(f,[y^3]). Якщо потрібно знайти похідну функції f один раз за першою змінною з поточного кільця (у даному випадку x) можна записати D(f) або D(f,x) .
Для знаходження змішаної похідної першого порядку від функції f існує команда D(f, [x, y]), для знаходження похідної вищих порядків потрібно використовувати команду ∖D(f,[x^k,z^m,y^n]), де k,m,n вказують, якого порядку відповідною змінною обчислюється похідна.
Символьне інтегрування композицій елементарних функцій виконується командою int(f(x))dx.
Для розкладання будь-якої тригонометричної або логарифмічної функції за допомогою тотожності: sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)=sin(x±y), cos(x)cos(y)±sin(x)sin(y)=cos(x∓y), sin2(x)+cos2(x)=1, cos2(x)−sin2(x)=cos(2x), ln(a)+ln(b)=ln(ab), ln(a)−ln(b)=ln(ab), використовується команда Expand(f(x))
Для розкладання на множники виразів за допомогою описаних вище тригонометричних та логарифмічних тотожностей, а також наступних тотожностей: ln(a)k=k⋅ln(a), eiz+e−iz=2cos(z), eiz−e−iz=2isin(z), ln(1+iz)−ln(1−iz)=2i⋅arctg(z), ln(1−iz)−ln(1+iz)=2i⋅arcctg(z), ez+e−z=2ch(z) ez−e−z=2i⋅sh(z), використовується команда Factor(f(x)).
Комбінуючи команди Factor(f(x)) і Expand(f(x)), можна спрощувати складніші висловлювання.
Given два неnegative numbers x і y, один може визначити свої аритмічні, geometric і harmonic means як x+y2, √xy, and 2xyx+y, respectively. Moreover, AGM(x,y) denotes the арифметично-geometric mean of x and y. GHM(x,y) помітить geometric-harmonic mean of x and y. При останній, MAGM(x,y) помітно змінити арифметично-геометричну величину x і y. Нижче є симметрична homogeneous функція в своїх двох параметрах x і y. In contrast до well-known means, AGM(x,y), GHM(x,y), і MAGM(x,y) are calculated iteratively .
Арифметико-геометричний метод AGM(x,y) є еквівалентом до межі послідовності xn і yn, де x0=x, y0=y, xn+1=12(xn+yn), and yn+1=√xnyn.
У той же спосіб, geometric-harmonic mean GHM(x,y) є еквівалентом до межі послідовності xn і yn, де x0=x, y0=y , xn+1=√xnyn, and yn+1=2xnynxn+yn.
Помітний арифметично-геометричний метод MAGM(x,y) є еквівалентом до граничного терміну xn, де x0=x, y0=y, z0=0, xn+1=xn+yn2, yn+1=zn+√(xn−zn)(yn−zn), and zn+1=zn−√(xn−zn)(yn−zn).
Let us use the parameter 0≤k≤1.
Складний еліптичний загальний перший перший K(k) is defined as K(k)=∫10dt√(1−t2)(1−k2t2)
Складний еліптичний загальний секційний другий E(k) is defined as E(k)=∫10√1−k2t21−t2dt
A point mass suspended from pivot with massless cord. Length of pendulum equals L=1 metre. It swings under gravitational acceleration g=9.80665 metres per second squared. Максимальний янг, що pendulum swings away від vertical, називається amplitude, equals θ0=2.0944, що є, 23π radians.
Find the period T of the pendulum використовуючи аритметично-geometric mean T=2πAGM(1,cos(θ0/2))√Lg