Визначено такі тропічні алгебри:
НАПІВПОЛЯ 1) На множине цілих чисел ${\mathbb Z}$ визначено: $ZMaxPlus$, $ZMinPlus$. 2) На множине чисел ${\mathbb R}$ визначено: $RMaxPlus$, $RMinPlus$, $RMaxMult$, $RMinMult$. 3) На множине чисел ${\mathbb R}64$ визначено: $R64MaxPlus$, $R64MinPlus$, $R64MaxMult$, $R64MinMult$.
НАПІВКІЛЬЦЯ 1) На множине цілих чисел ${\mathbb Z}$ визначено: $ZMaxMin$, $ZMinMax$, $ZMaxMult$, $ZMinMult$. 2) На множине чисел ${\mathbb R}$ визначено: $RMaxMin$, $RMinMax$. 3) На множине чисел ${\mathbb R}64$ визначено: $R64MaxMin$, $R64MinMax$.
Приклади тропічних алгебр:
SPACE = ZMaxPlus [x, y, z];
SPACE = R64MinMult [u, v];
SPACE = RMaxMin [u, v].
Приклад простого завдання в півкільці $ZMaxMult$.
Крім складання та множення доступна операція замикання, викликана командою $\backslash closure(a)$, де $a$ — елемент або матриця. Замикання $closure(a)=\mathbb{1}\oplus a\oplus a^{2}\oplus\dots$
В інших параграфах цього розділу наведено приклади завдань, які вирішуються в тропічних алгебрах, що є напівполями.
Команда $\backslash solveLAITropic(A,b)$ дозволяє знайти розв'язання нерівності Ax $\leq$ b.
Команда $\backslash BellmanEquation(A)$ дозволяє знайти рішення однорідного рівняння Беллмана $Ax = x$.
Команда $\backslash BellmanEquation(A,b)$ дозволяє знайти рішення неоднорідного рівняння Беллмана $Ax\oplus b=x$.
Команда $\backslash BellmanInequality(A)$ дозволяє знайти рішення однорідної нерівності Беллмана $Ax\leq x$.
Команда $\backslash BellmanInequality(A, b)$ дозволяє знайти розв'язання неоднорідної нерівності Беллмана $Ax\oplus b\leq x$.
Нехай A - матриця відстаней між суміжними вершинами ($x_{ii}$=0 $\forall i$; $x_{ij}=\infty$, якщо немає ребра, що з'єднує вершини i та j). Команда $\backslash searchLeastDistances(A)$ дозволяє знайти найменші відстані між усіма вершинами графа. В результаті буде отримано матрицю найкоротших відстаней між вершинами.
Нехай A - матриця відстаней між суміжними вершинами ($x_{ii}$=0 $\forall i$; $x_{ij}=\infty$, якщо немає ребра, що з'єднує вершини i та j). Команда $\backslash findTheShortestPath(A, i, j)$ дозволяє знайти найкоротший шлях між вершинами i та j.