Для вычисления значения функции в точке необходимо выполнить команду value(f, [var1, var2,…, varn]), где $f$ — это полином, в который на позиции переменных кольца подставляем соответствующие значения $var1, var2, …, varn$.
Для приведения полинома к стандартному виду необходимо выполнить команду expand(f), где $f$ — это полином.
Для разложения полинома на множители необходимо выполнить команду factor(f), где $f$ — это полином.
Для суммирования полинома по переменным необходимо выполнить команду SumOfPol(f, [x, y], [x1, x2, y1, y2]), где $f$ — полином, $x, y$ — переменные по которым ведется суммирование, $x1, x2$ — интервал суммирования по $x$, $y1, y2$ — интервал суммирования по $y$.
Если интервалы суммирования для всех переменных совпадают, то можно записать SumOfPol(f, [x, y], [x1, x2]), где $x1, x2$ — интервал суммирования по $x$ и $y$.
Для преобразования полинома с помощью формулы суммы геометрической прогрессии необходимо выполнить команду SearchOfProgression(f). Данная команда ищет геометрическую прогрессию с наибольшим числом членов среди мономов полинома, затем делает это еще раз для оставшихся членов и так далее. Найденные прогрессии записываются в виде $S_n=b_1(q^n-1)/(q-1)$, где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии.
Для вычисления базиса Гребнера полиномиального идеала $[p_{1}, p_{2}, …, p_{N}]$ над рациональными числами можно воспользоваться командой groebnerB(p_{1, p_{2}, …, p_{N})} или командой groebner(p_{1, p_{2}, …, p_{N})}. Команда groebnerB() вычисляет базиса Гребнера, используя алгоритм Бухбергера, а команда groebner() использует матричный вариант алгоритма, предложенный Фужером. Используется обратное лексикографическое упорядочение переменных. Порядок на переменных определяется в команде SPACE.
Функция reduceByGB(f, [g_1, …, g_N]) редуцирует полином $p$ с помощью данного множества полиномов $g_1, …, g_N$.
В случае, когда второй аргумент не является редуцированным базисом Гребнера, результат зависит от расположения полиномов в массиве: при наличии нескольких потенциальных редукторов выбирается первый из них.
Для решения системы нелинейных алгребраических уравнений вида:
$p_{1} = 0,$
$p_{2} = 0,$
...
$p_{N} = 0,$
use the command solveNAE(p_1, p_2, …, p_N).
Перед нахождением корней вычисляется базис Гребнера системы. Если базис содержит уравнения от одной переменной, они решаются, и корни подставляются в оставшиеся уравнения. Корни вычисляются численно. Ответом является вектор решений, в котором каждый элемент в свою очередь является вектором с элементами, соответствующими одному решению. Переменные в решении перечисляются в том же порядке, в котором они указаны при объявлении SPACE.
Для полиномов от нескольких переменных (f,g) можно вычислять НОД, НОК, результант (как определитель их матрицы Сильвестра), дискриминант:
GCD(f,g),
LCM(f,g),
resultant(f,g),
discriminant(f).
При этом главной переменной является старшая (последняя) переменная, которая определена в операторе окружения SPACE.